Συνήθως η εξέλιξη της τιμής μίας μετοχής ακολουθεί την κίνηση Brown, δηλαδή κάνει μία γρήγορη ακανόνιστη κίνηση, αυτό έχει ως αποτέλεσμα να αλλάζει πολύ γρήγορα κλίση και να μην μπορεί να παραγωγισθεί με την παραδοσιακή έννοια.

Λογισμός Μalliavin

Ο λογισμός κατά Malliavin λύνει αυτό το πρόβλημα, με την παράγωγο του Malliavin. Αυτό το πετυχαίνει προκαλώντας μία τοπική διαταραχή στην κίνηση Brown καθώς και σε ποιο γενικές διαδικασίες martingales, μετράει το μέγεθος της διαταραχής που προκαλεί στο sample path στο συγκεκριμένο σημείο τη μετοχής που θέλουμε να παραγωγίσουμε.

Το αποτέλεσμα της όλης ιστορία είναι ότι με αυτές τις τεχνικές να βρούμε πολύ γρήγορα και με καλύτερη εκτίμηση τους συντελεστές ευαισθησίας ή αλλιώς τα greeks σύνθετων χρηματοοικονομικών προιόντων που βασίζονται σε μετοχές όπως τα Asian Οptions, LookBack Option κτλ. Με τη ευρύτερη έννοια ο λογισμός κατα Malliavin είνα μια μεταφοράς του Λογισμού μεταβολών (Calculus of Variations) στις στοχαστικές διαδικασίες. Ένα από τα καλύτερα βιβλία είναι το Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance των Paul Malliavin και Anton Thalmaier

Έιναι ένα χρήσιμο εργαλείο για investment valuation.

Monte Carlo Simulation

Οι μέθοδοι προσομοίωσης Monte Carlo αναπτύχθηκαν από το γνωστό εργαστήριο Los Alamos κατά τη διάρκεια του δεύτερου παγκοσμίου πολέμου. Η αρχική ιδέα προέρχεται από τον Stanislaw Ulam ο οποίος προσπαθούσε να υπολογίσει την πιθανότητα νίκης στο παιχνίδι Solitaire. Στη συνέχεια ο Von Neummann χρησιμοποίησε αυτή τη μέθοδο, για να να υπολογίσει πολύπλοκα ολοκληρώματα σαν αναμενόμενες τιμές ως προς μέτρα πιθανότητας, σε θερμοπυρηνικά και fission προβλήματα πυρηνικής φυσικής. O von Neummann κατάφερε να εφαρμόσει τη μέθοδο υπολογιστικά πάνω στον πρώτο υπολογιστή που φτιάχτηκε δηλαδή τον ENIAC.

Οι μέθοδοι Monte Carlo από τότε χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστήμες και έχουν εισχωρήσει ιδιαίτερα στα οικονομικά και στα χρηματοοικονομικά ιδιαίτερα για τον υπολογισμό πολύπλοκων παράγωγων προϊόντων όπως exotic options κ.α. Η πρώτη εφαρμογή αυτής της μεθόδου για τιμολόγηση παράγωγων προιόντων έγινε από τον Boyle P. το 1977 στο paper «Options: A Monte Carlo approach». Δύο ενδεικτικά βιβλία για τη χρήση των μεθόδων στη χρηματοοικονομική είναι του Paul Glasserman «Monte Carlo Methods in Financial Engineering» και του Peter Jackel «Monte Carlo Methods in Finance»

update: 25/02/2017

Μια εφαρμογή είναι η τιμολόγησης ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος προαίρεσης αγοράς. Η υλοποίηση έγινε στη γλώσσα Go European Call Option Monte Carlo Simulation in Go

Για συνδιασμό μεθόδων monte carlο με malliavin calculus θα βρείτε στο Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance